Функции
Видео и статья на тему «Математика за 20 уроков»
Раздел 1. Что такое функция? (00:00)
Все мы знакомы с понятием функции, функциональной зависимости. В математике этому понятию дали название и уточнили, чтобы его можно было изучать. Мы все знаем, что если напор в кране будет больше, то ванна быстрее наполнится. Это пример зависимости. Или если у двух тел одинаковая плотность, то их масса будет зависеть от объема (чем больше объём, тем больше масса).
Функция – это соответствие между множествами, обладающее определенным свойством. В чем состоит это свойство? Если мы возьмем элемент x₀ из первого множества X, то ему будет соответствовать единственный элемент y₀ = ƒ(x₀) второго множества Y.
Например, у каждого человека есть размер обуви, причём единственный. Зависимость размера обуви от человека – функциональная. Если рассмотреть обратную зависимость, то она функциональной не будет, так как один и тот же размер обуви может быть у многих людей.
Рассмотрим еще один пример: зависимость между периметром квадрата и его площадью. Зная периметр, можем однозначно найти сторону: a = P/4. Тогда площадь будет: S = a² = P²/16. Такая зависимость будет функциональной (каждому квадрату с данным периметром соответствует ровно одно значение площади).
Если рассмотреть зависимость между периметром произвольного прямоугольника и его площадью, то она функциональной не будет. Например, если рассмотреть прямоугольник периметром 20, то его стороны однозначно определить нельзя. Они могут быть все по 5 (квадрат), тогда площадь будет 25. Или они могут быть 4, 6, 4, 6, тогда площадь будет S = ab = 24. Или они могут быть 1, 9, 1, 9, тогда площадь будет S = ab = 9. Возможных значений сторон много, значит, площадь нельзя определить однозначно.
Помимо того, что мы увидели, что зависимость между периметром произвольного прямоугольника и его площадью не является функциональной, можно заметить, что при заданном периметре наибольшая площадь будет у квадрата. Это пример экстремальной задачи. Мы уже рассматривали экстремальную задачу – задачу Дидоны. При заданной длине границы наибольшая площадь будет у круга. То есть среди всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшая площадь у квадрата, а если рассмотреть все возможные фигуры с заданным периметром (не только прямоугольники), то у круга.
Рассмотрим еще один пример: зависимость между периметром квадрата и его площадью. Зная периметр, можем однозначно найти сторону: a = P/4. Тогда площадь будет: S = a² = P²/16. Такая зависимость будет функциональной (каждому квадрату с данным периметром соответствует ровно одно значение площади).
Если рассмотреть зависимость между периметром произвольного прямоугольника и его площадью, то она функциональной не будет. Например, если рассмотреть прямоугольник периметром 20, то его стороны однозначно определить нельзя. Они могут быть все по 5 (квадрат), тогда площадь будет 25. Или они могут быть 4, 6, 4, 6, тогда площадь будет S = ab = 24. Или они могут быть 1, 9, 1, 9, тогда площадь будет S = ab = 9. Возможных значений сторон много, значит, площадь нельзя определить однозначно.
Помимо того, что мы увидели, что зависимость между периметром произвольного прямоугольника и его площадью не является функциональной, можно заметить, что при заданном периметре наибольшая площадь будет у квадрата. Это пример экстремальной задачи. Мы уже рассматривали экстремальную задачу – задачу Дидоны. При заданной длине границы наибольшая площадь будет у круга. То есть среди всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшая площадь у квадрата, а если рассмотреть все возможные фигуры с заданным периметром (не только прямоугольники), то у круга.
Для того чтобы задать функцию, нужно определить два множества и правило, по которому между ними устанавливается соответствие. Первое множество называют областью определения и обозначают D(y). Например: D(y) = R (множество всех действительных чисел). Второе множество называют областью значений и обозначают E(y).
Правило, по которому определяется соответствие между элементами множеств, можно задать многими способами, самый привычный для нас – аналитический (с помощью формулы). Например, y = x². Отдельно область значений при таком задании функции не определяют, ведь она задаётся автоматически: все возможные значения, которые может принимать x² при всех x из области определения.
График функции y = x² при D(y) = R выглядит следующим образом (Рис. 1).
График функции y = x² при D(y) = R выглядит следующим образом (Рис. 1).
Рис. 1. График функции y = x² при D(y) = R
Если бы мы поменяли область определения, то изменилась бы и функция. Например,
y = x² при D(y) = [0;+∞) (Рис. 2).
y = x² при D(y) = [0;+∞) (Рис. 2).
Рис. 2. График функции y = x² при D(y) = [0;+∞)
А при D(y) = [1;2] (Рис. 3).
Рис. 3. График функции y = x² при D(y) = [1;2]
Хотя правило задается одинаково, перед нами три разные функции.
В школьных учебниках часто встречается задание «Найти область определения функции…» В таких заданиях подразумевается поиск естественной области определения, то есть максимального подмножества действительных чисел, элементы которого могут быть аргументами функции. Например, найдем естественную область определения y = 1/x. Так как в знаменателе содержится переменная, то может возникнуть деление на 0, которое не определено. Поэтому x = 0 не входит в естественную область определения: D(y) = (-∞;+∞)\{0}.
В школьных учебниках часто встречается задание «Найти область определения функции…» В таких заданиях подразумевается поиск естественной области определения, то есть максимального подмножества действительных чисел, элементы которого могут быть аргументами функции. Например, найдем естественную область определения y = 1/x. Так как в знаменателе содержится переменная, то может возникнуть деление на 0, которое не определено. Поэтому x = 0 не входит в естественную область определения: D(y) = (-∞;+∞)\{0}.
Раздел 2. Графики функций (12:37)
График – это как способ визуализации функции, так и способ задания функции. То есть по графику можно увидеть некоторые свойства функций, которые неочевидны при других способах задания функции.
Например, имея таблицу значений, ее анализировать сложно, но если те же данные представить в графическом виде, то сразу можно увидеть свойства (видим падение количества при определённой смене) (Рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Также бывают ситуации, когда удобнее использовать табличное представление, например, в статистике.
То есть существуют основные способы задания функций (словесный, аналитический, графический, табличный), каждый из которых будет удобен в зависимости от ситуации.
То есть существуют основные способы задания функций (словесный, аналитический, графический, табличный), каждый из которых будет удобен в зависимости от ситуации.
Ссылки на материалы InternetUrok.ru
1. Урок «Линейная функция и ее график»
2. Урок «Прямая пропорциональность и ее график»
3. Урок «Функция y=x² и её график»
4. Урок «Линейная функция»
5. Урок «Функция y = √x. Её свойства и график»
6. Урок «Функция y = √x. Её свойства и график. Решение задач»
7. Урок «Функция y=kx², ее свойства и график»
8. Урок «Функция y=k/х, ее свойства и график»
9. Урок «Функция y=k/х, ее свойства и график (продолжение)»
10. Урок «Функция y=k/х, ее свойства и график (продолжение 1)»
11. Урок «Функция y=ax² + bx + c, ее свойства и график»
12. Урок «Квадратичная функция»
13. Урок «Функция y=√x»
14. Урок «Числовые функции. Основные понятия, разъясняющие примеры»
15. Урок «Нахождение области определения и области значений числовой функции»
16. Урок «Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях»
17. Урок «Аналитический способ»
18. Урок «Графический и табличный способы»
19. Урок «Основные свойства числовых функций»
20. Урок «Свойства линейной функции y=kx+m и y=kx² (k ≠ 0)»
21. Урок «Функции y=k/x, y=√x, y=|x|»
22. Урок «Свойства квадратичной функции y=ax²+bx+c»
23. Урок «Определения и свойства четных и нечетных функций»
24. Урок «Исследование функций на четность»
25. Урок «Степенная функция с четным показателем степени y=x²ⁿ, ее свойства и график»
26. Урок «Степенная функция с нечетным показателем степени y=x²ⁿ⁺¹, ее свойства и график»
27. Урок «Задачи на степенные функции y=x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)»
28. Урок «Степенная функция y=x⁽⁻²ⁿ⁾, ее свойства и график»
29. Урок «Степенная функция y=x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, ее свойства и график»
30. Урок «Задачи на степенные функции y=x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)»
31. Урок «Функции y=ⁿ√x, их свойства и графики»
32. Урок «Функции y=(√x)ⁿ, их свойства и графики. Задачи»
33. Урок «Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения»
34. Урок «Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем»
35. Урок «Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения»
36. Урок «Функция y=logₐx, ее свойства и график»
37. Урок «Функция y=logₐx, ее свойства и график (продолжение)»
38. Урок «Урок 12. Функции и их свойства. Теория»
39. Урок «Урок 12. Функции и их свойства. Практика»
40. Урок «Определение числовой функции, способы ее задания»
41. Урок «Свойства функций»
1. Урок «Линейная функция и ее график»
2. Урок «Прямая пропорциональность и ее график»
3. Урок «Функция y=x² и её график»
4. Урок «Линейная функция»
5. Урок «Функция y = √x. Её свойства и график»
6. Урок «Функция y = √x. Её свойства и график. Решение задач»
7. Урок «Функция y=kx², ее свойства и график»
8. Урок «Функция y=k/х, ее свойства и график»
9. Урок «Функция y=k/х, ее свойства и график (продолжение)»
10. Урок «Функция y=k/х, ее свойства и график (продолжение 1)»
11. Урок «Функция y=ax² + bx + c, ее свойства и график»
12. Урок «Квадратичная функция»
13. Урок «Функция y=√x»
14. Урок «Числовые функции. Основные понятия, разъясняющие примеры»
15. Урок «Нахождение области определения и области значений числовой функции»
16. Урок «Задачи на нахождение области определения и области значений функции в более сложных случаях»
17. Урок «Аналитический способ»
18. Урок «Графический и табличный способы»
19. Урок «Основные свойства числовых функций»
20. Урок «Свойства линейной функции y=kx+m и y=kx² (k ≠ 0)»
21. Урок «Функции y=k/x, y=√x, y=|x|»
22. Урок «Свойства квадратичной функции y=ax²+bx+c»
23. Урок «Определения и свойства четных и нечетных функций»
24. Урок «Исследование функций на четность»
25. Урок «Степенная функция с четным показателем степени y=x²ⁿ, ее свойства и график»
26. Урок «Степенная функция с нечетным показателем степени y=x²ⁿ⁺¹, ее свойства и график»
27. Урок «Задачи на степенные функции y=x⁽ⁿ⁾ (где n принадлежит N)»
28. Урок «Степенная функция y=x⁽⁻²ⁿ⁾, ее свойства и график»
29. Урок «Степенная функция y=x⁻⁽²ⁿ⁺¹⁾, ее свойства и график»
30. Урок «Задачи на степенные функции y=x⁽⁻ⁿ⁾ (где n принадлежит N)»
31. Урок «Функции y=ⁿ√x, их свойства и графики»
32. Урок «Функции y=(√x)ⁿ, их свойства и графики. Задачи»
33. Урок «Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения»
34. Урок «Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем»
35. Урок «Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения»
36. Урок «Функция y=logₐx, ее свойства и график»
37. Урок «Функция y=logₐx, ее свойства и график (продолжение)»
38. Урок «Урок 12. Функции и их свойства. Теория»
39. Урок «Урок 12. Функции и их свойства. Практика»
40. Урок «Определение числовой функции, способы ее задания»
41. Урок «Свойства функций»
Другие материалы