Понятие числа. Часть 2. Дроби. Рациональные числа
Статья на тему «Математика за 20 уроков»
Раздел 1. Дроби (00:00)
Число – это удобный инструмент для решения различных задач. Посмотрим теперь, какие задачи можно решить с помощью этого инструмента.
Пример 1

Два брата работали, один – 30 минут, второй – 50 минут. Мама решила отблагодарить сыновей и принесла торт (рис. 1). Как справедливо разделить торт между братьями?
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Как это сделать? Для торта задача кажется не очень простой, так как торт – это одно целое, а разделить нужно на части.

Решим сначала более простую задачу, пусть у нас будет не торт, а 8 пирожных (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
Тогда понятно: один работал 3 раза по 10 минут: 30 = 3 ∙ 10, а второй – 5 раз по 10 минут: 50 = 5 ∙ 10, то есть каждые 10 минут можно оценить в одно пирожное. Значит, первому достанется 3 пирожных, а второму – 5 (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Попробуем задачу с тортом свести к задаче с пирожными. Для этого торт разрежем на 8 одинаковых частей, каждую часть можно считать эквивалентом одного пирожного (рис. 4).
Рис. 4. Деление торта на 8 частей
Значит, первому брату должно достаться 3 такие части, а второму – 5, то есть первому – 3/8 торта, а второму – 5/8.
Можем сделать вывод: для решения некоторых задач удобным инструментом являются дроби. Можно было не вводить дроби, а ввести новые единицы измерения. Например, была единица измерения – торт, а мы разделим его на 8 равных частей, у нас есть новая единица – часть торта (1/8 торта). Получается, что дроби не так уж нужны. Но тогда для каждой отдельной задачи нужно будет вводить новые единицы измерения. Поэтому использование дробей унифицирует подход к решению подобных задач.
В школе много внимания уделяется технике работы с дробями, однако важным является и само понятие дробь, а также ограничения при работе с ними. Одно из таких ограничений, свойств дроби: дробь – это часть чего-то. А значит, для того чтобы сложить две дроби, две части чего-то, это «что-то» должно быть одинаковым. Как, например, мы не можем сложить 3 ручки и 4 карандаша, оставшись в категории ручек и карандашей, можно лишь сказать, что у нас есть 7 пишущих предметов, нужно ввести новое понятие (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
Рассмотрим такой пример (рис. 6). У нас есть 6 яблок, возьмём из них 2 яблока, то есть 1/3. Аналогично из еще 6 яблок возьмём 2 яблока, то есть 1/3. Теперь если мы сложим, то получим 4 яблока, которые мы взяли из 12, то есть 4/12 = 1/3.
Рис. 6. Иллюстрация к примеру
Получилось, что 1/3 + 1/3 = 1/3. Кажется, что это парадокс, но никакого парадокса здесь нет, ведь 1/3 мы считали от разных величин: 1/3 6 + 1/3 6 = 1/3 12.

В левой части сократили на 6, а в правой – на 12, поэтому и получили ошибку.

То есть важно помнить, что дробь – это часть чего-то. Решая примеры, мы всегда предполагаем, что все дроби в нем – части одного и того же количества.
Раздел 2. Как поделить что-то неоднородное (06:58)
Вернемся к примеру с тортом, его легко было разделить на равные части, а если у нас есть, например, 10 разных грибов (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к примеру
Как их поделить поровну? Если каждому по 5, то это нечестно, ведь грибы все разные. Однако всё же есть способ, как разделить их справедливо. Один может поделить грибы на две равные, по его мнению, части, а второй – выбрать любую из них. Тогда деление будет справедливым: если первый одну из частей сделает явно больше, то её выберет второй, и первый сам себя накажет. Значит, он постарается разделить грибы поровну. Ну а второй сам выбирает свою часть, поэтому точно не может считать делёж несправделивым.
Раздел 3. Сложение дробей (08:04)
За время похода мы прошли 12 км, за первый час – 1/3 пути, за второй час – 1/4 пути (рис. 8). Какую часть пути мы прошли за 2 часа?
Рис. 8. Иллюстрация к примеру
Эта задача кажется несложной, 1/3 пути – это 4 км, 1/4 пути – это 3 км, значит, за 2 часа мы прошли 7 км из 12 км, то есть 7/12.

Данный пример решается легко. А что делать в другом случае, когда, например, весь путь 17 км (рис. 9)? В таком случае нам просто нужно разделить путь на 12 равных частей, и тогда мы снова получим 7/12.
Рис. 9. Иллюстрация к примеру
То есть нужно разбить на какое-то количество частей, а как его определить? В данном примере нам нужно такое количество частей, от которого легко найти третью и четвертую часть (такое число является общим кратным чисел 3 и 4).

Если бы были другие части, например, прошли 1/3 и 1/5, тогда удобно было бы поделить на 15 частей. И так для любого случая. В этом идея наименьшего общего кратного и работы с дробями (приведение дробей к общему знаменателю для того, чтобы сложить или вычесть дроби).
Раздел 4. Итоги (10:40)
До этого мы говорили о числовых множествах (натуральные числа, целые числа). Как же дроби связаны с множествами? Когда мы ввели такой инструмент, как дроби, мы ввели множество рациональных чисел.
Все числа, которые представимы в виде дроби (m/n, где m, n – целые, n ≠ 0), образуют множество рациональных чисел. В это множество входят все целые числа, так как любое целое число представимо в таком виде (например, дробь со знаменателем 1).

Другие материалы