В жизни мы всё время округляем. Например, когда нас спрашивают: «Который час?», мы часто отвечаем приблизительно, потому что хотим дать ориентир по времени и плюс-минус 5 минут не так важны. Но если человек опаздывает на поезд, то ему такая точность не подойдёт, потому что ценность минуты для него существенно выше (Рис. 1).

И речь не только о математике: ни о чем нельзя сказать точно. Кажется, назовешь совершенно конкретный предмет, но оказывается, что ты сказал о нем неточно. Например, сказал: «Стол». Вроде бы точно. Но столы бывают разные – из какого материала он сделан? Скажем: «Деревянный стол». Возникнет вопрос: а какие у него закругления и т.д.

Может появиться возражение: «Как это нельзя? Вот, например, два одинаковых стула – это абсолютно точно» (Рис. 2).

На самом деле неточность просто перешла в другое место. Они не идеально одинаковые, если присмотреться, то у одного есть трещина, а у другого нет и т.д.

Если же мы уточняем цель задачи описания стульев (например, нас интересует, сколько людей можно на них посадить), тогда нам не важны трещины и прочие отличия. Главное, что на обоих стульях можно сидеть, и для такой цели стулья будут одинаковыми. Можно поставить еще третий стул, и он для нашей цели будет таким же, как и предыдущие два (3 места для сидения), хотя будет выглядеть совершенно по-другому (Рис. 4).

Бывают случаи, когда точность действительно важна. К примеру, при изготовлении деталей для какой-то машины или прибора на заводе. Особенно, если эти детали производят на разных заводах и потом в отдельном месте собирают. В таком случае точность очень важна: если одна деталь будет плохо подходить к другой, то вся машина или прибор будут работать некачественно (или вообще не будут работать). С другой стороны, чем выше требования к точности, тем больше будет стоимость производства каждой из деталей и конечного продукта в целом.

Поэтому различают такие понятия, как достижимая точность и экономическая точность. Скажем, самолёт состоит из десятков тысяч деталей, они все делаются на разных заводах и должны быть подогнаны друг к другу. Грубо говоря, сидение должно поместиться в отверстие, которое было сделано под него.

Но если поставить задачу делать все детали с максимально достижимой (технически) точностью, то стоимость самолета может вырасти в разы. Поэтому говорят об экономической точности, то есть минимальной по стоимости точности обработки деталей, при которой будут достигаться необходимая эффективность (безопасность, надёжность).

Есть и другой пример того, что точность может быть критически важна.

Предположим, есть две реки, которые впадают в водохранилище. Известно, что при определенном критическом уровне водного потока нужно перекрыть водосток, чтобы не допустить наводнения (Рис. 6).

Если каждый из операторов передаст округленное значение, и мы их сложим, то суммарный уровень воды окажется меньше критического, мы не будем опускать решетку и произойдет наводнение (Рис. 7).

В рассмотренном примере каждый из операторов округляет до десятых и в результате получается довольно большая погрешность. Если бы они передавали показания с точностью до сотых и округление мы бы выполнили только при суммировании, а затем принимали решение, то ошибки бы не было (Рис. 8).

Получается, что человек, который находится во главе любой структуры (будь то директор предприятия, премьер-министр или президент), должен учитывать, какую погрешность допустили те, кто передавал ему данные.

Проиллюстрируем это таким примером: мы собираем данные по школам, затем сводим их по районам, затем передаем эти данные в областные органы и т.д. В качестве собираемой информации возьмем относительно небольшую величину (например, количество медалистов). Округления на каждом из этапов могут исказить окончательные результаты кардинально. Мы можем получить отклонение в несколько процентов как в большую, так и в меньшую сторону. Соответственно, манипуляция статистическими данными возможна: если мы все сначала округлим до десятых, а потом сложим или все сложим, а затем округлим до десятых, то можем получить два существенно отличающихся результата (Рис. 9).

Аналогичным образом дело обстоит с системой голосования на выборах. Есть прямая система выборов президента (как, например, в России), а есть непрямая система (например, в США), с использованием выборщиков: страна разбита на какое-то количество штатов и голоса населения каждого штата представляют своими голосами определенное количество выборщиков. При этом все выборщики штата А голосуют за кандидата, который набрал в этом штате больше 50% голосов.

Фактически мы округляем голоса всех жителей штата в пользу кандидата, который набрал в этом штате большинство. Но ошибка округления при этом может сильно отличаться: если кандидат набрал 90% голосов штата, то после округления с помощью голосования выборщиков дополнительно он получит всего лишь 10%, а если 51% - то целых 49%. Учитывая, что население по штатам может быть распределено неравномерно, может возникать ситуация, при которой по стране большинство проголосовавших будет за кандидата A, а большинство выборщиков – за кандидата В, который и станет президентом (Рис. 10, 11). В 2016 году такая ситуация произошла на выборах президента США.

Существует еще один пример. Посчитаем √2 на обычном (не инженерном) калькуляторе, а затем умножим полученное число на себя. По идее должно получиться 2, однако на экране мы увидим 1,(9). Это связано с тем, что когда калькулятор считает √2, он выполняет округление (по количеству знаков, которые помещаются на экране), а умножаем на себя мы уже это округлённое число, поэтому и получаем почти 2, но не в точности 2 (Рис. 12).

Поэтому, когда производят расчеты при решении физических задач, важно понимать, с какой точностью нужно выполнять каждый шаг вычислений. Часто учителя физики просят не делать промежуточные вычисления, а доводить задачу до получения рабочей формулы в общем виде, не подставляя числа (Рис. 13).

Это один из способов обезопасить себя от ошибки округления. Выполняя промежуточные вычисления, мы будем округлять полученные промежуточные значения. Ошибка может накапливаться, и результат будет отличаться от правильного. Заранее не всегда можно угадать, с какой точностью нужно выполнять вычисления, чтобы ошибка не накопилась. Если ответ проверяет компьютер, то даже небольшая ошибка из-за промежуточных округлений может привести к тому, что ответ не будет засчитан как правильный.

Есть еще один хороший пример того, как небольшое отклонение может привести к большой суммарной ошибке. Возьмите большое количество одинаковых книг (например, Большую Советскую энциклопедию) и попробуйте выложить их одну на другую в стопку. Дойдя до определённого количества книг, мы увидим, что стопка обязательно разрушится. Это связано с тем, что вы не можете в точности сделать так, чтобы центр тяжести предыдущей книги совпадал с центром тяжести следующей (Рис. 14).

Также нет окружности, отношение длины которой к радиусу в точности равно π. Невозможно начертить такую окружность, потому что нет такой точной линейки (Рис. 15).

Но в самом определении содержится ошибка, если учесть точность измерения реальной линейкой. Само число π, как характеристика идеального математического объекта – окружности, содержит в себе бесконечную точность, но для практических вычислений всегда приходится округлить его с точностью до некоторого знака (например, эту точность может определять инженер, который соотносит её с точностью расчетов, которые ему надо провести).

Даже окружность, изображённая на экране компьютера, – это на самом деле большой правильный n-угольник (Рис. 16).

Об этом есть несколько стихотворений, которые полезно прочитать:

Существует поговорка: «Не ошибается тот, кто ничего не делает». Её можно интерпретировать следующим образом: как только ты начинаешь что-то делать, в любом случае где-то получится ошибка, не надо этого бояться.

Если точность не может быть абсолютно достижима, то нужно понимать, как правильно округлить. Для того чтобы общаться, нужно что-то сообщать, а значит, какую-то часть информации мы упускаем (всю информацию передать невозможно). Значит, точность определяется целью задачи, которую мы решаем.